ステップ1使う道具は 2つ
道具1 円柱の体積
底面積 × 高さ ＝ 半径×半径×3.14 × 高さ
道具2 円すいの体積
底面と高さが同じ円柱の 3分の1
どうして 3分の1？ 右の図を見てね。箱（立方体）は、同じ形のピラミッド3つにぴったり分けられるんだ（3つは 箱をくるっと回すと 重なる形）。だから ピラミッド1つは 箱の 3分の1。
円すいは「底が丸いピラミッド」。同じ理由で 円柱の 3分の1 になるよ。
1動画で 見てみよう
▶ ボタンをおすと動画がはじまるよ（約1分半）。「よみあげ」をONにすると、声で読んでくれるよ。
0:00 / 0:00
2図で たしかめよう
「球の体積 ＝ 半径×半径×半径×3.14×4/3」が なぜそうなるのか、4つのステップで見ていくよ。
ステップ2作戦 ── 半分にして くらべる
球をまっぷたつに切った「半球」を考えます。
もうひとつ、半径と高さが同じ円柱から、同じ大きさの円すいを「とがった方を下」にして くりぬいた形を用意します。
この2つ、体積が同じなんだ！
本当かな？ 次のステップで、うすく切って くらべてみよう。
ステップ3うすく切って くらべる ── 動かしてみよう
半径 5 の場合。スライダーで「切る高さ」を動かして、2つの切り口の広さをくらべてみてね。
半球の切り口は円。その半径は、直角三角形の「たて（高さ）・ななめ（半径 5）」から決まります。高さ 3 なら、3・4・5 の直角三角形だから 円の半径は 4 だね。
くりぬき円柱の切り口はドーナツ。外側の半径は 5、穴の半径は「高さ」と同じ（円すいは とがった方が下だから、高さ 3 のところの穴の半径は 3）。
どの高さで切っても、2つの切り口の広さは同じ！
💡 高さが 3 以外だと 円の半径はきれいな数にならないけれど、「円の半径×円の半径 ＝ 5×5 − 高さ×高さ」という直角三角形のきまり（中学で習う「三平方の定理」）で、いつでも同じになるよ。
ステップ4切り口が同じなら 体積も同じ
立体は「うすい板をたくさん積み上げたもの」と考えられます。コインの山を ずらして積んでも、コインの数が同じなら 体積は同じだよね。
半球と くりぬき円柱は、どの高さでも切り口の広さが同じ。つまり「同じ広さの板」を同じ数だけ積んでいるから……
半球の体積 ＝ 円柱 − 円すい
この考え方は「カヴァリエリの原理」という名前がついているよ。
ステップ5公式が できるまで
「半径×半径×半径×3.14」は何回も出てくるので、★ と書くことにするよ。
円柱＝半径×半径×3.14×半径＝★（高さ＝半径）
円すい＝円柱 ÷ 3＝★×1/3
半球＝円柱−円すい＝★−★×1/3＝★×2/3
球＝半球 × 2＝★×4/3
球の体積の公式
球の体積 ＝ 半径×半径×半径 × 3.14 × 4 ÷ 3
中学生の書き方だと V ＝ 43 π r3（π＝円周率 3.14…、r＝半径）
3計算してみよう
半径を入れると、公式にあてはめて 体積を計算するよ。いろいろなボールのボタンもおしてみてね。
4おうちで たしかめよう
公式から、球は「ぴったり入る円柱（高さ＝半径×2）」の 3分の2 の体積になるはず。本当かな？ 水でたしかめてみよう。
用意するもの：ボール（ピンポン玉やスーパーボールなど、水にしずむもの）、ボールが ぴったり入る筒（計量カップやコップでもOK）、水。
- 筒にボールを入れて、ボールの上ぎりぎりまで水を入れる。
- ボールをそっと取り出す。
- 水の高さを見てみよう。水は 筒の高さ（ボールの直径）の 3分の1 まで へっているはず！
へった分（筒の 3分の2）がボールの体積。計算どおりだね。
💡 きっちり 3分の2 にならなくても大丈夫。筒がボールよりちょっと大きかったり、水がこぼれたりするからね。だいたい合っていれば 大成功！
🏛 ちょっとむかしの話
「球は ぴったり入る円柱の 3分の2」というひみつは、今から2200年以上前に、ギリシャのアルキメデスという学者が見つけました。
アルキメデスはこの発見をとても気に入っていて、自分のお墓に「球と円柱」の絵をきざんでほしいとたのんだそうです。